Taldeen errepresentazio

Matematikan, aljebrako talde teoriaren adar bat den taldeen errepresentazio teorian, talde errepresentazioa deritzo aztertu nahi den talde abstraktua talde lineal batekin lotzen duen homomorfismo orori. Horrela, talde abstraktuak bektore espazio baten automorfismoen bidez azter daitezke.

Izan ere, taldeen errepresentazio teoriak ${\displaystyle G}$ talde abstraktuak deskribatzen ditu ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$-bektore espazioa baten ${\displaystyle GL_{K}(V)}$ automorfismoen taldearen terminoetan; hau da, espazio bektorialetik espazio bektorial berberera doazen transformazio lineal bijetiboen multzoak aplikazioen konposaketarekin batera eratzen duen taldearen bitartez. Taldearen deskribapen hori, ${\displaystyle R:G\longrightarrow GL_{K}(V)}$ talde homomorfismo baten bitartez lortuko da. Talderen baten gainean horrela definituriko ${\displaystyle R}$ homomorfismo bat, ${\displaystyle G}$ taldearen ${\displaystyle K}$-errepresentazio bat dela esaten da.^[1]

Gainera, ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ dimentsioko ${\displaystyle K}$-bektore espazioa bada, ${\displaystyle GL_{K}\cong GL(n,K)}$ talde isomorfismoa betetzen da, non ${\displaystyle GL(n,K)}$ ${\displaystyle n}$ dimentsioko talde lineal orokorra den. Hots, koefizienteak ${\displaystyle K}$ gorputzean dituzten ${\displaystyle n\times n}$ dimentsioko matrize alderantzizkagarriek matrizeen biderketarekin batera osatzen duten ${\displaystyle GL(n,K)}$ taldearen isomorfoa da ${\displaystyle GL_{K}(V)}$ automorfismoen taldea. Ondorioz, talde lineal orokorrak erabil daitezke talde abstraktuak deskribatzeko. Honela, talde abstraktuko elementuen ordez, matrize alderantzizkagarriak erabil daitezke eta talde abstraktuaren biderketaren ordez matrizeen arteko biderketak.^[1]

Taldeen errepresentazioak garrantzitsuak dira, talde teoriako problema asko aljebra linealeko problema bilakatzen dituztelako.^[2] Horrela problemak erraztu egiten dira, hobeto ezagutzen baitugu aljebra lineala talde teoria baino. Garrantzitsuak dira fisikan ere, adibidez, sistema fisiko baten simetria-taldeek sistema hori deskribatzen duten ekuazioen soluzioei nola eragiten dien deskribatzen baitute. Kimikan ere, talde errepresentazioak erlaziona daitezke molekulen errotazio simetrikoekin eta islapenekin.

Talde baten errepresentazioa terminoa adiera orokorragoan ere erabiltzen da, talde baten "deskribapena" edozein objektu matematikoren transformazio talde gisa adierazteko. Formalago, errepresentazio bat talde baten elementuak edozein objekturi dagokion automorfismoen taldera daraman homomorfismoa da. Objektua espazio bektoriala bada, orduan errepresentazio lineala dugu. Batzuetan, errealizazioa terminoa erabiltzen da kontzeptu orokorrerako, errepresentazio terminoa errepresentazio linealen kasu berezirako soilik erabiliz. Artikulu honetan talde finituen errepresentazio linealak deskribatzen dira batik bat.

1. ↑ ^{a b} Martin., Burrow,. (2015). Representation theory of finite groups. Elsevier Science ISBN 978-1-4832-5821-8. PMC 990530548. (Noiz kontsultatua: 2022-12-27).
2. ↑ Kostrikin, A. I.. (1997). Linear algebra and geometry. Gordon and Breach Science Publishers ISBN 90-5699-049-7. PMC 38814830. (Noiz kontsultatua: 2022-12-28).